SIMETRIJA TRANSLACIJE U GRAFIČKOM DIZAJNU

Ivan Budimir1, Igor Jelaska2, Josipa Fotak1

1Sveučilište u Zagrebu Grafički fakultet, Getaldićeva 2, Zagreb, Hrvatska
2Sveučilište u Splitu Kineziološki fakultet, Teslina 6, Split, Hrvatska

Sažetak

Osnovni cilj suvremenog grafičkog dizajna je ostvarivanje što kvalitetnije komunikacije sa promatračem. Stoga se grafički dizajn na razne načine pokušava unaprijediti i usavršiti. U tu svrhu korisno je upotrijebiti matematička znanja o simetriji, kako bi se dobili novi vizualni oblici koji sadrže različite varijacije simetrija. Tema rada je evaluacija translacijske simetrije kao jedne specijalne vrste simetrije. U tu svrhu prezentirani su rezultati vizualnog istraživanja koje su osmislili autori, u kojem su vrednovana neka originalna dizajnerska rješenja, kako bi se utvrdilo preferiraju li korisnici grafičkih proizvoda, u određenim uvjetima, translacijski simetrične oblike više od drugih. Pomoću Friedmannove ANOVE (p<0,05) i Wilcoxonovih testova (p<0,05) utvrđeno je da korisnici ipak više preferiraju simetrične oblike od drugih.
Ključne riječi: dizajn, simetrija translacije, vizualna kvaliteta, Friedmannova ANOVA

TRANSLATIONAL SYMMETRY IN GRAPHIC DESIGN

Abstract

The primary goal of the modern graphic design is to establish a quality relationship with the viewer which is why graphical design is constantly improved and perfected. The mathematical knowledge is used in order to obtain new visual forms which contain the variation of symmetry. This paper presents the evaluation of translational symmetry as a special type of symmetry. The originally designed forms which were designed by the authors were evaluated in order to determine whether the users of the graphic solutions prefer translation symmetry forms more than other in certain conditions. By using Friedman’s ANOVA (p<0,05) and Wilcoxon tests (p<0,05) it was determined that users prefer translation symmetry forms more than other forms.
Keywords: design, translational symmetry, visual quality, Fredman's ANOVA

1. Uvod
1. Introduction

Simetrični predmeti, biljke i životinje nalaze se svuda oko nas, od najsitnijih atomskih čestica i molekula sve do neizmjernih svemirskih prostranstava [1]. Tako su obična pahuljica snijega kao i kristali leda primjeri gotovo savršenih simetričnih struktura [2]. Naranča koja je prerezana na dva dijela gledana iznutra u potpunosti je rotacijski simetrična, crni morski ježinac sa svojim mnogobrojnim bodljama koji živi u Jadranskom moru je radijalno simetričan obzirom na nekoliko osi simetrija, dok je pčelinje saće gotovo ogledan primjer oblika koji se dobije višestrukom primjenom translacijske simetrije. Promotri li se odraz planinskih vrhunaca za vedrog vremena na čistom planinskom jezeru može se jasno uočiti zrcalna simetrija. Navedeni i brojni drugi primjeri ukazuju na učestalost pojavljivanja najraznovrsnijih simetričnih oblika u svijetu koji nas okružuje.
Ne čudi što je simetrija jedna od najvažnijih matematičkih ideja koja je zajednička brojnim područjima znanosti poput fizike, kemije ili biologije, ali se pojavljuje u likovnoj i glazbenoj umjetnosti i arhitekturi, od njihovih početaka sve do današnjih dana [3]. Bezbrojni su primjeri simetričnih predmeta, reljefa, skulptura, kipova, građevina, glazbenih i likovnih djela koji su sastavni dio ljudske kulturne baštine. Pravilo simetrije uz zlatni rez jedno je od osnovnih načela kvalitetne kompozicije grafičkog dizajna. Stoga se smije zaključiti kako pojam simetrije povezuje matematiku i druga područja znanosti uključujući i grafičku tehnologiju, što nužno zahtijeva interdisciplinarni pristup i međusobnu suradnju znanstvenika iz različitih područja kako bi se kvalitetno istražio spomenuti fenomen (slika 1.).

a
Slika 1 Fenomen simetrije spaja različita područja znanosti i umjetnosti
Figure 1 The phenomenon of symmetry connects different areas of science and art

Naime, matematika je znanost o strukturama, a forma svakog likovnog djela temelji se na precizno osmišljenoj strukturi prema kojoj su izgrađeni odnosi te raspoređeni objekti. Prema britanskom matematičaru Godfreyu Haroldu Hardyju (1877-1947.), koji je postao slavan po iznimnom doprinosu matematičkoj analizi i teoriji brojeva [4], „matematičari su poput slikara ili pjesnika, graditelji novih uzoraka. Ukoliko njihovi uzorci imaju trajnu i neprolaznu vrijednost, to je samo zato što su usklađeni s matematičkim idejama.“ Istinitost Hardy-jevih riječi potvrđuju brojni primjeri u likovnim umjetnostima i arhitekturi. Identičnu misao, ali na drukčiji način izrekao je poznati španjolski grafičar i slikar kubizma Jose Victoriano Gonzalez, koji je poznat po umjetničkom imenu Juan Gris (1887-1927.), prema kojem je „upravo matematika osnovni građevni element slikarstva; i to njezina apstraktna dimenzija“ [5]. Isti autor u pravilnim matematičkim objektima pronalazi inspiraciju za svoju umjetnost [5]: „Cézanne transformira bocu u cilindar. Ja, naprotiv, počinjem od cilindra da bih stvorio likovni element posebne vrste: ja stvaram bocu, konkretnu bocu, od samog cilindra…moje slike su poput poezije ili proze.“ U slikarstvu slikar osmišljava uzorke koji sačinjavaju formu djela u koju se uklapaju pojedini elementi. Svaki pojedini element svojim oblikom i položajem podvrgava se zakonu forme, te na taj način doprinosi skladu cjeline. Prema Grisu upravo forma koja je ujedno i osnova samog likovnog djela je matematičke prirode. Također, kod Grisa se i sami likovni elementi, poput primjerice boce, temelje na geometrijskim tijelima, u ovom slučaju cilindrima. Stoga se smije zaključiti kako ovaj slikar crpi veliku inspiraciju iz matematike.
Korištenje nekih varijanti simetrije može biti veoma koristan alat za modeliranje u raznim područjima grafičkog dizajna, što uključuje ilustraciju, primijenjenu i umjetničku fotografiju, dizajniranje logotipa, tipografiju, te dizajniranje korisničkih sučelja. Pritom treba dobro paziti na ciljeve koji se žele postići određenim grafičkim dizajnom. Naime, poznato je da se u najvećem broju slučajeva korištenjem simetrije postiže se smirenost, uzvišenost, elegancija, ravnoteža i sklad dizajna, čime se može postići neželjeni dojam pasivnosti i statičnosti kompozicije. Nasuprot tome, asimetrični oblici bude doživljaje kretanja, nemira, dinamike i nesklada, te snažnije privlače pozornost promatrača. Simetrični oblici pak duže ostaju u sjećanju promatrača te bude u njemu plemenite osjećaje reda, harmonije i ljepote. U najvećem broju slučajeva iskusni dizajneri kombiniraju simetriju i asimetriju kako bi postigli uravnoteženost dizajna i što uspješnije istaknuli poruku koju žele prenijeti korisnicima. Pritom nastoje u simetrične strukture unijeti asimetrične i obrnuto, što od dizajnera iziskuje veliko iskustvo i izvrsno poznavanje temeljnih kompozicijskih pravila.
U radu su izloženi rezultati eksperimentalnog vrednovanja specifičnih vizualnih struktura koje su osmislili autori, kako bi se utvrdilo u kolikoj mjeri korisnici grafičkih proizvoda preferiraju oblike koji su više ili manje usklađeni sa simetrijom translacije.

2. Teoretski dio
2. Theoretical part

Pojam simetrije precizno je objašnjen u matematici, posebno u klasičnoj i suvremenoj geometriji, te apstraktnoj algebri koja obuhvaća teoriju grupa. Matematička definicija simetriju opisuje kao preslikavanje koje geometrijskom objektu u ravnini ili prostoru ne mijenja izgled [6] (Def. 1.). Klasična geometrija razlikuje tri vrste simetrija: zrcalnu simetriju, rotaciju i translaciju. U radu se posebno promatra simetrija translacije, čija matematička definicija je dana u nastavku.
Def 1. Neka je a neki vektor u ravnini. Translacija za vektor a je preslikavanje koje točki A pridružuje točku B tako da je a. U tom slučaju se kaže da je točka A translatirana u točku B duž vektora a. Translacija figure je preslikavanje koje figuru u ravnini preslikava u njoj identičnu figuru tako da se svaka točka te figure translatira u njoj odgovarajuću točku duž vektora a (slika 2.) [6].


a
Slika 2 Prikaz  simetrije translacije
Figure 2 Display of traslation symmetry

Dizajn sadrži translacijsku simetriju ako postoji figura koja se pravilno ponavlja u određenim razmacima.
Simetrija translacije, ali i drugi oblici simetrija, mogu se pronaći na velikom broju umjetničkih djela na kojima se nalaze odgovarajuće figure koje se periodički ponavljaju. Takve figure su na pravilan način raspoređene u ravnini, tako da one u potpunosti ispunjavaju ravninu, bez praznina i preklapanja. Na taj način su nastale elegantne simetrične rozete, gravure, ornamenti i brojni mozaici. Primjeri takvih uzoraka su mozaici koji krase srednjevjekovnu španjolsku palaču Alhambru [7] ili uzorci na čuvenim umjetničkim grafikama nizozemskog slikara M. C. Escera [8]. Matematičari su utvrdili da su spomenuti simetrični uzorci načinjeni izuzetno pravilno, te se temelje na zakonitostima koje predstavljaju matematičku definiciju grupe. Naime, vizualne strukture se, poput matematičke strukture grupe, modeliraju iz vrlo malog skupa osnovnih elemenata i to u skladu s preciznim pravilnostima. Iako posjeduju relativno mali broj građevnih elemenata, njihovim različitim pravilnom ponavljanjem dobivaju se vrlo bogate i nevjerojatno raznovrsne vizualne strukture. Iste predstavljaju vizualizaciju apstraktne matematičke strukture grupe, a najčešće se radi o različitim grupama simetrija u Euklidskoj ravnini E2.
Sam Escher je bio svjestan značaja matematike za svoju umjetnost, što najbolje potvrđuju njegove riječi [9]: „Iako sam čak i sada još uvijek laik u području matematike, i iako mi nedostaje teorijsko znanje matematike, a poglavito kristalografije, ono je imalo značajan utjecaj na moj rad u posljednjih dvadeset godina. Zakonitosti pojava koje nas okružuju, poredak, ciklično ponavljanje, i preslikavanja –imali su veliku važnost za mene. Svijest o njihovoj prisutnosti mi daje mir i pruža podršku. U mojim grafikama nastojim svjedočiti da živimo u prekrasnom i uređenom svijetu, a ne u bezobličnom kaosu, kao što se to ponekad čini.“
Vizualno predočavanje različitih grupa simetrije čiji cilj je dobivanje različitih originalnih dizajnerskih rješenja, moguće je ostvariti pomoću računala, što predstavlja veliki izazov području računalne grafike. Tako bi se omogućila originalna, kreativna primjena računalne metode u suvremenim računalnim umjetnostima koje su usko povezane sa računalnom grafikom. Ovaj pristup ima široke i još nedovoljno istražene mogućnosti primjene u grafičkom dizajnu.

3. Metodologija
3. Methodology

U nastavku su prikazani dijelovi istraživanja koje je provedeno u okviru postupka izrade završnog rada [10]. Eksperimentalno istraživanje sastojalo se od dva dijela: (a) originalnog dizajniranja testnih uzoraka korištenjem translacijske simetrije te (b) vizualnog eksperimenta koji je proveden nad ispitanicima pri čemu je korišten internetski Googleov obrazac pomoću kojega su ispitanici odgovarali na postavljena pitanja. Na taj način ispitanici su mogli odgovarati na postavljena pitanja putem interneta, što je olakšalo i ubrzalo sam eksperiment.
Autori rada su osmislili četiri originalna testna uzorka specifičnog dizajna. Spomenuti uzorci su izrađeni ručno, te su potom načinjene njihove fotografije. Svi uzorci sadrže crnu podlogu na kojoj se nalazi 16 malih žutih kvadratića od kolaž papira, koji su složeni na podlogu u različitim smjerovima. Žuti kvadratići su dimenzija 1x1 cm. Testni uzorak F1 potpuno je usklađen s principom translacijske simetrije (slika 3), drugi testni uzorak F2  jako malo odstupa od pravila translacijske simetrije (slika 4), treći testni uzorak F3 jako odstupa od zakona translacijske simetrije (slika 5), dok je četvrti testni uzorak F4 potpuno asimetričan (slika 6). Fotografije su načinjene kamerom od 13 MP koja je postavljena na udaljenosti od točno 20 cm od uzoraka. Sve četiri fotografije testnih uzoraka su digitalno obrađene čime je postignuta identična širina i visina svake od njih. Na taj način sama veličina fotografije i njezinih elemenata nije utjecala na ocjenu estetske ljepote istih. Svim testnim uzorcima je zajednička simetrija translacije, a elementi na tim uzorcima su postavljeni na način koji je opisan u nastavku.
Slučaj 1. Testni uzorak F1 je potpuno asimetričan. Svi elementi na njoj nemaju nikakvog reda po kojem su posloženi. Postavljeni su nasumično jer su autori tako željeli (slika 3).


a
Slika 3 Fotografija u kojoj su elementi asimetrični u simetriji translacije
Figure 3 Elements deviate from the translation symmetry

Slučaj 2. Testni uzorak  F2 ima veliko odstupanje od simetrije. Naime, pojedini elementi vidno odstupaju od pravila simetrije (slika 4).


a
Slika 4  Fotografija u kojoj elementi jako odstupaju od simetrije u simetriji translacije
Figure 4 Elements strongly deviate from the translation symmetry

Slučaj 3. Na testnom uzorku F3 kvadratić u prvom stupcu i zadnjem redu za svega nekoliko milimetara odstupa od simetrije (slika 5).


a
Slika 5 Fotografija u kojoj elementi malo odstupaju od simetrije u simetriji translacije
Figure 5 Elements faintly deviate from the translation symmetry

Slučaj 4. Na kraju je prezentiran testni uzorak F4 koji je u potpunosti simetričan, jer ju čine 16 kvadratića koji su jednako udaljeni jedan od drugog, uz to su raspoređeni u 4 redaka i 4 stupca, te na taj način tvore simetriju translacije.


a
Slika 6  Fotografija u kojoj su elementi simetrični u simetriji translacije
Figure 6 Elements are staggered by the rules of the translation symmetry

U samom vizualnom eksperimentu sudjelovalo je 52 ispitanika različite dobi i spola. Ispitanici su dobili zadatak da u Googlovom obrascu koji je postavljen na Internet rangiraju testne uzorke na temelju vlastitog osjećaja ljepote. Pritom je korištena Likertova skala s ocijenama od 1 do 4, pri čemu se ocjene nisu smjele ponavljati. Skala je definirana na sljedeći način:
1 - u potpunosti mi se sviđa
2 - sviđa mi se
3 - ne sviđa mi se
4 – u potpunosti mi se ne sviđa
Proračunske tablice načinjene su uz pomoć Microsoftovog  Exel-a 2013.

4. Rezultati istraživanja i diskusija
4. Results and discussion

U nastavku su prezentirani rezultati vizualnog eksperimenta i neka njihova statistička obilježja. Vizualna kvaliteta a-tog testnog uzorka (a) definirana je pomoću aritmetičke sredine svih ocjena koje su im dodjeljivali ispitanici (dodijeljenih rangova po Likertovoj skali). Rangovi po  Likertovoj skali označeni su s a (njih 52). Sažeto, vizualna kvaliteta a  a-tog testnog uzorka Fi zadana je jednadžbom:

a 

Statistička obilježja uzorka izračunata su pomoću programa STATISTICA 12 (StatSoft, Tulsa, USA). Sastoji se od izračuna deskriptivnih parametara uzorka, prikaza rezultata Kolmogorov-Smirnovljevog testa kojim je ispitana usklađenost eksperimentalnih podataka sa zakonom normalne razdiobe. Kako podaci nisu bili usklađeni sa zakonom normalne razdiobe načinjena je ne-parametrijska Friedmann ANOVA analiza za zavisne uzorke s ponovljenim mjerenjima koja je ukazala na postojanje statistički značajnih razlika među aritmetičkim sredinama rangova promatranih varijabli (p<0,05). Na kraju je izvršena post-hoc analiza koja je uključivala identifikaciju parova čije aritmetičke sredine se međusobno razlikuju pomoću Wilcoxonovog testa uređenih parova (p<0,05).
Deskriptivna statistička analiza podataka dobivenih eksperimentom prikazana je tablicom1.

Tablica 1 Deskriptivna statistika (aritmetička sredinaastandardna devijacija (a), median (Med), mod (Mod), frekvencija moda (Fr. moda), minimum (Min), maksimum (Max), varijanca (Var) 
Table 1 Descriptive statistics (arithmetic mean± standard deviation (μ±σ), median (med), mod (Mod), mod frequency (Fr. moda), minimum (Min), maximum (Max), variance (Var))


Uzorci

aa

Med

Mod

Fr. moda

Min

Max

Var

F1

2,88a1,31

4

4

27

1

4

1,71

F2

2,75a0,71

3

3

29

1

4

0,50

F3

2,50a0,67

2

2

31

2

4

0,45

F4

1,79a1,24

1

1

35

1

4

1,54

Sve testni uzorci dobili su najmanju i najveću ocjenu sa Likertove skale (tablica 1). Uočene su relativno male vrijednosti varijanci što potvrđuje kvalitetu dobivenih podataka.
Nadalje, provjerena je usklađenost svih podataka sa zakonom normalne razdiobe. U tu svrhu primijenjen je Kolmogorov-Smirnovljev test čiji rezultati su prikazani tablicom 2.

Tablica 2 Rezultati Kolmogorov-Smirnovljevog testa (statistika Max D, empirijska p-vrijednost)
Table 2 Kolmogorov-Smirnovljev test results (Max D statistics, empirical p-value)


Uzorci

Max D

p

F1

0,32

p<0,01

F2

0,31

p<0,01

F3

0,37

p<0,01

F4

0,41

p<0,01

Kolmogorov-Smirnovljevim testom pokazano je da niti jedan statistički uzorak nije usklađen sa zakonom normalne razdiobe (tablica 2). Rezultat je očekivan obzirom da su promatrani rangovi vizualne procjene 4 različita testna uzorka. Kako uzorci nisu usklađeni sa zakonom normalne razdiobe, provedena je Friedmann ANOVA analiza za zavisne uzorke s ponovljenim mjerenjima. Spomenutom analizom su se analizirale razlike među aritmetičkim sredinama ocjena sva 4 testirana uzorka. Precizno, testirana je nulta hipoteza
a
nasuprot alternativnoj hipotezi
a
Utvrđeno je da ANOVA hi-kvadrat iznosi a uz statističku značajnost Friedmannovog testa koja iznosi p=0,00001. Prethodni pokazatelji jasno ukazuju na postojanje statistički značajnih razlika među aritmetičkim sredinama ocjena testiranih uzoraka.  Precizno, nultu hipotezu aaa potrebno je odbaciti, u korist alternativnoj hipotezi a. Nadalje, provedena je dodatna statistička analiza s ciljem identifikacije varijabli čije aritmetičke sredine se statistički značajno razlikuju. U tu svrhu provedeni su Wilcoxonovi testovi usporedbe parova uzoraka, za zavisne uzorke. Rezultati testova dani su tablicom 3 koja sadrži T-vrijednost te statističku značajnost Wilcoxonovog testa (p).

Tablica 3 Rezultati Wilcoxonovih testova (statistika T, pripadna p-vrijednost)
Table 3 Wilcoxon test results (T statistics, loyal p-value )

Uzorci

F1

F2

F3

F2

T=483,00
p=0,391

-

-

F3

T=494,00
p=0,166

T=387,50
p=0,142

-

F4

T=320,50
p=0,006

T=332,00
p=0,002

T=257,50
p=0,001

Dobiveni koeficijenti ukazuju na postojanje statistički značajnih razlika aritmetičkih sredina između testnog uzorka F4 i svih ostalih testnih uzoraka (tablica 3) uz nivo značajnosti p<0,05. Nadalje, između aritmetičkih sredina testnih uzoraka F1, F2 i F3 ne postoje statistički značajne razlike. Utvrđeno je da se ispitanicima najviše sviđa uzorak F4 koji je potpuno simetričan, čija aritmetička sredina iznosi 1,79 sa medijanom iznosa 1. Aritmetičke sredine preostalih triju uzoraka nisu pokazale statistički značajne razlike.

5. Zaključak
5. Conclusion

U radu su dani rezultati istraživanja vizualne kvalitete jednostavnih kompozicija obzirom na translacijsku simetriju. Friedmannova ANOVA s ponovljenim mjerenjima za zavisne uzorke je pokazala da postoje statistički zna­čajne razlike među aritmetičkim sredinama ocjena testiranih uzoraka, od kojih je jedan (F4) usklađen sa zakonom simetrije dok preostala tri uzorka (F1,F2,F3) više ili manje odstupaju od spomenutog zakona (ANOVA hi-kvadrat iznosi aa uz statističku značajnost Friedmannovog testa koja iznosi p=0,00001). Nadalje, Wilcoxonovi testovi ukazuju na postojanje statistički značajnih razlika među nekim parovima promatranih aritmetičkih sredina. Naime, aritmetička sredina testnog uzorka F4 koji je usklađen s translacijskom simetrijom razlikuje se od svih ostalih uzoraka. Posljedično, ako je u kompoziciji izražena translacijska simetrija, ona je prema ispitanicima vizualno kvalitetnija, što je najvažniji rezultat ovog rada.

6. Reference
6. References

[1] Berry, R. Stephen. (1991) Symmetry in atomic and molecular systems. Computers & Mathematics with Applications . Vol. 21. No. 10. pp. 39-52.
[2] Stewart, Ian. (2001) What Shape is a Snowflake? Magical Numbers in Nature. Freeman. New York.
[3] Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim. (2008) The Symmetries of Things. Taylor and Francis Group. International book.
[4] G. H. Hardy  (1940 reprinted 1969) A Mathematician's Apology. Cambridge University Press. Cambridge.
[5] James, Mai. (2012) Juan Gris' Compositional Symmetry Transformations. Proceedings of Bridges 2012: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture. editors Robert Bosch, Douglas McKenna and Reza Sarhangi. pp. 283-290.
[6] Palman, Dominik.  (1984) Projektivna geometrija. Školska knjiga. Zagreb.
[7] Syed Jan Abas, Amer Shaker Salman. (1994)  Symmetries of Islamic Geometrical Patterns. World Scientific Publishing. London.
[8] Potter M.; Ribando, J. M. (2005) Isometries, Tessellations and Escher, Oh My! American Journal of Undergraduate Research. Vol. 3. No. 4. pp. 21-28.
[9] http://www.azquotes.com/author/4555-M_C_Escher
[10] Josipa, Fotak (2016) Pravila simetrije u matematici i dizajnu. Završni rad. Mentor: Budimir, Ivan. Sveučilište u Zagrebu Grafički fakultet. Zagreb.